Category Archives: filozofia a matematyka

13. spotkanie – Czy komputer może być przydatny w matematyce ścisłej? Historia obalenia hipotezy Mertensa

W listopadzie odbyły się wyjątkowo dwa spotkania. Okazją do drugiego spotkania (23 listopada 2013 r.) stał się referat, który wygłosił dr hab. Krzysztof Maślanka, prof IHN. Referat połączył prace dwóch grup: filozofii w informatyce oraz filozofii fizyki.

Franz Mertens.jpg

Franciszek Mertens (1840-1927) – ur. w Środzie [Wielkopolskiej], prof. matematyki w Krakowie (UJ), Grazu i w Wiedniu (uniwersytet)

Tematem wystąpienia była analiza przypadku (case study), który mógłby przybliżyć nas do odpowiedzi na tytułowe pytanie o głębokich implikacjach filozoficznych. Przypadkiem tym było obalenie hipotezy Mertensa przy pomocy programu komputerowego. Hipoteza Franciszka Mertensa (nazwana od nazwiska XIX-wiecznego matematyka, związanego przez pewien czas z Krakowem) jest bardzo ważna, ponieważ jej prawdziwość pociąga za sobą prawdziwość słynnej hipotezy Riemanna. „Eksperymentalne” próby testowania hipotezy Mertensa (bazujące na obliczeniach numerycznych) wydawały się bardzo obiecujące. Hipoteza spełniała nie tylko wszystkie warunki metodologiczne sformułowane przez Poppera (śmiałość przewidywań, testowalność), ale była również niezwykle dobrze potwierdzona licznymi wynikami obliczeń numerycznych (dobrze potwierdzona do wartości argumentu n=10^7). Okazało się jednak, że dzięki zastosowaniu algorytmu LLL (algorytm Lenstra, Lenstra, & Lovász opracowany pierwotnie na potrzeby kryptografii), udało się znaleźć taką wartość argumentu n, że hipoteza Mertensa okazała się nieprawdziwa.

Kilka interesujących uwag na ten temat można znaleźć w artykule K. Maślanki Matematyka i piękno opublikowanego na łamach czasopisma „PAUza Akademicka”.

Warto również sięgnąć do oryginalnego artykułu A.M. Odlyzko, T.J.J. te Riele, Disproof of the Mertens Conjecture (1985) [NB. pierwszy komunikat o wyniku pochodzi z roku 1983].

Uczestnicy spotkania (grupa filozofia w informatyce, w kolejności alfabetycznej):

  1. P. Gumułka
  2. R. Janusz
  3. A. Koleżyński
  4. P. Polak
  5. P. Urbańczyk
Reklamy

10. spotkanie.

Ostatnie w tym roku akademickim spotkanie grupy badającej
związki filozofii z informatyką odbyło się tradycyjnie w Akademii Ignatianum, w dniu 13 czerwca 2013 r. Spotkanie to miało o tyle szczególny charakter, że wystąpiło na nim dwóch prelegentów: ks. dr hab. Adam Olszewski oraz dr Mateusz Hohol. Termin kolejnego spotkania przewidywany jest na początek następnego roku akademickiego. W spotkaniu uczestniczyli:

1. R. Janusz
2. R. Piechowicz
3. A. Olszewski
4. P. Polak
5. M. Hohol
6. M. Wilkowska

Referat dr. hab. Adama Olszewskiego dotyczył filozoficznych i logicznych aspektów podmiotu matematycznego. Punktem wyjścia była analiza słynnego aksjomatu myśli (aksjomatu istnienia inteligencji) sformułowanego w 1905 roku przez Davida Hilberta: „Mam zdolność do myślenia rzeczy (o rzeczach) i oznaczania ich z pomocą prostych symboli w tak doskonale określony sposób, że mogę zawsze jednoznacznie rozpoznać je ponownie; moja myśl dokonuje operacji na tych rzeczach z użyciem symbolizmu, zgodnie z dobrze określonymi prawami, i jestem zdolny do introspekcji (Selbstbeobachtung), która pozwala opisać te prawa w sposób zupełny”. Analiza tego niezwykle istotnego dla hilbertowskiej metamatematyki aksjomatu polegała na rozbiciu go na kilka hipotez oraz dyskusji nad każdą z osobna. Prelegent argumentował następnie, że matematyczny widziany może być z trzech konkurencyjnych perspektyw. Tym samym wyróżnił on podmiot platoński, który zdolny jest do kontemplacji całej – istniejącej niezależnie od ludzi – matematyki, podmiot kantowski, będący idealizacją ludzkich zdolności matematycznych (może on np. wykonywać operacje w nieskończonym czasie) oraz podmiot empiryczny, który tożsamy jest de facto z matematykami „z krwi i kości”. Olszewski wykazywał następnie wagę tej systematyzacji podmiotów matematycznych w odniesieniu do różnych zagadnień teoretycznych, takich jak np. teza Churcha (wyjaśnia ona czym są obliczenia). Przy tej okazji prelegent stwierdził, że teza Churcha jest w istocie zdaniem, dotyczącym działania podmiotu matematycznego.

W swojej prelekcji dr Mateusz Hohol analizował zagadnienie podmiotu matematycznego z perspektywy neurokonitywnej. Osią przewodnią było poszukiwanie minimalnej architektury poznawczej dla podmiotu, zdolnego do przyswojenia zdolności matematycznych oraz posługiwania się matematyką. Referat rozpoczął się od krótkiego omówienia aktualnych badań nad poznaniem matematycznym (prowadzonych m.in. przez S. Dehaene’a, G. Lakoffa, R. Nuneza, B. Butterwortha). Hohol zaprezentował następnie ramę teoretyczną poznania matematycznego, określoną jako „3E”. Argumentował on, że poznanie matematyczne jest w pewnej mierze zapisane w mózgu (embrained), ucieleśnione (embodied), a także osadzone w kulturze (embedded). Odnoszą się one kolejno do: wrodzonych i nabywanych we wczesnych etapach ontogenezy zdolności protomatematycznych, takich jak „Zmysł liczby”, zdolności do posługiwania się schematami wyobrażeniowymi i metaforami pojęciowymi, które pozwalają na przenoszenie struktury pojęć konkretnych (odnoszących się do cielesnego doświadczenia podmiotu) na pojęcia abstrakcyjne, a także zdolności oraz tendencji do imitacji (precyzyjnego naśladowania zarówno celu, jak i prowadzących do niego ruchów), dzięki czemu matematyka rozwija się kumulatywnie. W referacie przedstawione zostały hipotezy dotyczące struktur mózgowych (np. dolna kora ciemieniowa) oraz poznawczych (system śledzenia obiektów, system liczb przybliżonych) zaangażowanych w poznanie matematyczne, a także roli neuronów lustrzanych i teorii umysłu (czytania stanów mentalnych innych osób) w kształtowaniu się i przekazywaniu zdolności matematycznych.

Wpis opracowany we współpracy z dr Mateuszem Hoholem.